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Math Attack : Connaissez vous les 10 nombres sans lesquels le monde moderne ne tournerait pas ?

Pi, le nombre d'Euler, le nombre d'or, la constante de Planck... autant de nombres aux noms étranges mais aux applications déterminantes.

E = mc²

Publié le - Mis à jour le 8 Août 2012
Math Attack : Connaissez vous les 10 nombres sans lesquels le monde moderne ne tournerait pas ?

Certains nombres ont révolutionné le monde. C’est par exemple grâce à eux que des ponts ont été construits. Crédit DR

"Or il n'est rien qui soit meilleur marché ni d'un usage plus facile 
que précisément les nombres, rien qui soit davantage au pouvoir 
de l'intelligence humaine"

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

 

L’ADN en hélice, la sélection naturelle de Darwin…ou encore l’héliocentrisme de Galilée. Ces grandes découvertes scientifiques ont changé le cours de l’Humanité.

Mais il n’y a pas qu’elles qui ont "compté". D'autres nombres ou constantes mathématiques ont révolutionné le monde. C’est grâce à eux que des ponts ont été construits, par exemple. 

Voici donc dix nombres essentiels à retenir :  

1 / Pi ou la constante d’Archimède : 3,141 592 65…


 3.1415...
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Le mathématicien grec Archimède est le premier à avoir calculé Pi (qui se note π), dont la valeur est estimée entre 3 + 10 / 71 et 3 + 1 / 7. Il s'agit du rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.  

Son application : Pi est la clé constante dans toute équation qui inclut un mouvement circulaire ou harmonique. C’est une des relations les plus essentielles en mathématiques.

L'éclairage de Jean-Paul Truc, docteur en mathématiques : On en trouve une valeur approchée dans la bible (livre des Rois, 7.23). La lettre π est la première du mot circonférence ou périmètre en grec. Cette notation a été introduite vers 1600 pour désigner ce nombre. Dans le papyrus Rhind en Égypte, vers 1800 Av J.C. il est donné approximativement pour 3,16. Archimède au troisième siècle utilise une méthode de recouvrement partiel du disque par des polygônes, méthode qui le conduit à l’encadrement : 3 + 10 / 71 < π < 3 + 1 / 7 ou encore : 3,1408 < π < 3,1428. L’approximation de π par des nombres rationnels (i.e. des fractions) a été un souci constant ; la théorie des fractions continues fournit par exemple des réduites comme 22 / 7 ou 333 / 106 . Toutefois on sait depuis le XVIIème siècle grâce au mathématicien Jean Henri Lambert, né à Mulhouse, que π est un nombre irrationnel (on ne peut l’écrire de manière exacte comme quotient de deux nombres entiers). La formule de Leibniz suivante :

qui dit que π sur quatre est la somme infinie des inverses des entiers impairs, affectés d’un signe alterné, montre que π n’est pas lié au cercle mais serait présent dans toute civilisation sachant compter, c’est à dire connaissant la suite des nombres entiers 0, 1, 2, 3... . La quadrature du cercle consiste à construire géométriquement, avec la règle et le compas, un carré de côté x dont la surface soit égale à celle du cercle, ce qui revient à résoudre géométriquement π = x², en prenant le rayon R = 1. Elle a occupé longtemps les mathématiciens de l’antiquité à la renaissance ; nous savons maintenant que c’était “mission impossible”. En effet une longueur constructible à la règle et au compas est représentée par un nombre x algébrique, ce qui signifie qu’il est solution d’une équation de la forme

où les a i sont des rationnels et m un entier. La diagonale  √2  du carré de côté 1 est par exemple un nombre algébrique puisque vérifiant l’équation x² - 2 = 0. Si la quadrature du cercle était possible, x donc x² serait algébrique, et donc π également. Or Carl Louis Ferdiand Von Lindemann a prouvé au dix-neuvième siècle que π n’était pas un nombre algébrique ! (On dit que est un nombre transcendant). La recherche des décimales de π est devenue un objectif pour les plus gros ordinateurs, afin de montrer leur puissance de calcul. On connaît aujourd’hui dix mille milliards de décimales de π. Le meilleur algorithme est récent : il a été trouvé par le mathématicien canadien Simon Plouffe ; ce dernier figurait dans le livre des records en 1977, pour avoir récité par cœur 4096 décimales de π !

2 / Le nombre d’Euler (e) : 2,71828


 2.7182...

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Le nombre d’Euler est aussi connu sous le nom de "constante de la croissance exponentielle".

Il s'agit de la base des logarithmes naturels et on le retrouve dans beaucoup de domaines des mathématiques.

Application: En finance, le nombre d’Euler est utilisé afin de déterminer les intérêts composés, un élément vital dans la compréhension de la valeur temporelle de la monnaie – la colonne vertébrale de la finance. De plus, ce nombre est crucial en physique, dans la loi de décroissance radioactive – prenez par exemple la datation au Carbone 14.

Jean-Paul Truc : C'est en 1614 que le mathématicien écossais Jean Neper invente les logarithmes, afin de simplifier les calculs astronomiques de l'époque en remplaçant la  multiplication par l'addition, conjointement avec l'utilisation de tables, selon  la formule : ln(ab) = ln a + ln b. Le nombre e (cette notation apparaît dans la correspondance entre Euler et Huyghens) est l'unique nombre réel dont le logarithme népérien ait pour valeur 1, ce qui s'écrit : ln e = 1. Une valeur approchée en est 2,71828. En élevant le nombre d'Euler à une puissance quelconque x, puis en calculant le logarithme du nombre obtenu, on retrouve le nombre x.  La fonction exponentielle de base e qui à x associe ex est donc l'inverse de  la fonction logarithme, ce qui justifie l'importance de ce nombre, indispensable en analyse mathématique. Le célèbre  mathématicien suisse  Léonard Euler, prouva notamment que e était irrationnel et établit la relation :  

qui dit que e est la somme infinie des inverses des factorielles des nombres entiers (la factorielle de l'entier n, notée n!, est égale au produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux  à n ; par exemple : 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, et par convention 0! = 1).  Remarquons que e est également un nombre transcendant (résultat démontré  par Charles Hermite en 1873).


 
Commentaires

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  • Par LeditGaga - 07/08/2012 - 09:12 - Signaler un abus Apprendre à calculer en 100 leçons !

    Merci Mr Truc pour ce quart d'heure pédagogique qui rappellera aux iconoclastes les plus dubitatifs quant à son utilité, que l'étude des nombres constitue précisément la clé du progrès ! Les incultes avouant ici dans un article précédent leur incapacité à additionner deux nombres entre eux et, partant, déclarant ce domaine culturel nul et non avenu, devraient lire et relire votre article, voire l'encadrer et le fixer en bonne place dans leur résidence ! Cette dernière remarque me rappelle cette authentique jeune blonde affirmant à un jury médusé, lors d'un hypothétique concours... que le "zéro" est formidable et surtout très utile puisqu'il est le seul nombre permettant de compter jusqu'à 1 ! Mille excuses pour le titre : je n'ai pas pu m'en empêcher !

  • Par Ravidelacreche - 07/08/2012 - 10:27 - Signaler un abus le monde moderne ne tournerait pas ?

    Il est remarquable de constater qu'aucun de ces "nombres" n'est "justes" Alors si ça ne tourne pas tout à fait "rond" cherchez l'erreur :o) Les mathématiques sont la seule science où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai. Bertrand Russell

  • Par Vinas Veritas - 07/08/2012 - 11:08 - Signaler un abus la lune grâce aux romains

    Vous ne le savez peut être pas, mais la fusée Saturn 5 qui jadis envoya des hommes dans la lune doit beaucoup aux romains et leurs matheux. Car sans eux, il est probable que cette fusée n’aurait pas eu les caractéristiques que les ingénieurs lui donnèrent.

  • Par Vinas Veritas - 07/08/2012 - 11:08 - Signaler un abus la lune grâce aux romains

    Vous ne le savez peut être pas, mais la fusée Saturn 5 qui jadis envoya des hommes dans la lune doit beaucoup aux romains et leurs matheux. Car sans eux, il est probable que cette fusée n’aurait pas eu les caractéristiques que les ingénieurs lui donnèrent.

  • Par Rhytton - 07/08/2012 - 12:01 - Signaler un abus 10 nombres sans lesquels la demagogie politique ne tourne pas

    "Les grandes personnes aiment les chiffres. Quand vous leur parlez d'un nouvel ami, elles ne vous questionnent jamais sur l'essentiel. Elles ne vous disent jamais : "Quel est le son de sa voix ? Quels sont les jeux qu'il préfère ? Est-ce qu'il collectionne les papillons ?" Elles vous demandent : "Quel âge a-t-il ? Combien a-t-il de frères ? Combien pèse-t-il ? Combien gagne son père ?" Alors seulement elles croient le connaître." (Saint Exu') - Voici donc 10 nombres sans lesquels la demagogie politique ne tournerait pas: Le smic à 1000 euros, la 5eme semaine de conges payes, les 35 heures, la retraite a 60 ans, l'ISF à 75%, tolerance zero, le non remplacement d'un fonctionnaire sur 2, le fichage dès l'âge de 3 ans, le vote à 16 ans, le proces du 100 contamine, et bien sur la parite (1 pour 1). - Vive l'incantation politique...

  • Par Rhytton - 07/08/2012 - 12:10 - Signaler un abus Ajout

    N'oublions pas l'esprit de mai 68, mais bon, puisque l'auteur de l'article a oublie de parler du zero, nous ne sommes plus dans l'exhaustif...

  • Par Charles25 - 07/08/2012 - 16:49 - Signaler un abus Le nombre d'Avogadro n'a pas

    Le nombre d'Avogadro n'a pas sa place. Ce n'est absolument pas une constante universelle : c'est juste une commodité d'écriture pour éviter les nombres trop grands. Et c'est d'ailleurs une convention : on aurait pu choisir une autre valeur pour ce nombre, elle aurait aussi bien fait l'affaire !

  • Par Budelberger - 07/08/2012 - 19:12 - Signaler un abus Zêtes sûrs ?

    « "i" est égale à la racine carrée de -1, ce qui veut dire que la racine carrée de i est -1. » : si c’est le cas, i = 1 ?

  • Par jipt - 07/08/2012 - 22:33 - Signaler un abus Bien vu !

    la phrase : "i est égale à la racine carrée de -1, ce qui veut dire que la racine carrée de i est -1." n'a pas de sens...c'est probablement une faute de la rédaction. Je pense que la rédaction voulait écrire : "i est égal à la racine carrée de -1, ce qui veut dire que le carré de i est égal à -1. La "racine carrée de i" se calcule facilement en remarquant que (1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i ; ce sera donc 1+i divisé par la racine carrée de 2 (et son opposé). La phrase qui suit n'est d'ailleurs pas très claire non plus : Dans la "vraie vie" les solutions complexes sont aussi essentielles que les solutions réelles !!

  • Par QuadPater - 07/08/2012 - 22:37 - Signaler un abus À Budelberger

    « "i" est égale à la racine carrée de -1, ce qui veut dire que la racine carrée de i est -1. » Oui, y'a un bug. « "i" est égale à la racine carrée de -1, ce qui veut dire que la racine carrée de -1 est i. » eût été plus cohérent, plus drôle aussi. En fait on pose i² = -1 et voilà. -------------- Je renchéris sur deux commentaires précédents : parler du zéro à la place du nombre'Avogadro aurait été plus pertinent.

  • Par jipt - 07/08/2012 - 22:50 - Signaler un abus note au sujet du 10)

    la formule exp(ix)=cos x + i sin x (**) présente une erreur de signe et le commentaire de la rédaction est un peu abscons...Je pense que ça veut dire que le nombre complexe z=exp(ix), quand le réel x varie de 0 à 1, va se déplacer dans le plan complexe et décrire dans le sens des aiguilles d'une montre un demi cercle centré à l'origine, en partant du point z=1 obtenu pour x=0 et en terminant sur le point z=-1, obtenu pour x=Pi, puisque exp(i Pi)=-1. Cette formule (**) peut évidemment se prouver en développant exp(ix) en série de puissances de x, et en séparant les termes pairs et impairs; on voit alors apparaître les séries bien connues du cosinus et du sinus.

  • Par ヒナゲシ - 07/08/2012 - 23:06 - Signaler un abus Tout cela est assez fourre-tout

    Déjà on y mélange des constantes mathématiques avec des constantes physiques. Si e, π et i ont évidemment leur place, en revanche le choix de certaines constantes semble assez arbitraire : pourquoi pas la masse de l'électron ou le moment magnétique du neutron… ?   Et puis l'article sent la (mauvaise) traduction : en français — et contrairement à l'anglais — on ne dit pas sine, cosine et radius mais sinus, cosinus et rayon, respectivement. Et puis la fin de l'article (« Application ») me paraît complètement incompréhensible.     Petite note utile à propos de & e : s'il est exact que Ferdinand Von Lindemann a démontré la transcendance de π, il l'a fait juste 9 ans après (1882) la démonstration par le français Charles Hermite de la transcendance de e, démonstration dont Lindemann s'est fortement inspiré…

  • Par Budelberger - 07/08/2012 - 23:14 - Signaler un abus C’est aimable de m’esspliquer

    Mais si j’ai relevé, c’est peut-être que je comprenais que je ne comprenais pas ? ou, allez, un heureux hasard, une phrase prise comme ça ; et je suis bien tombé. J’ai toujours eu de la veine. De toute façon, l’article serait à récrire – pas par moi. (De plus pénible à lire en raison de l’absence des signes mathématiques de base, comme « ² », « ³ »…) (Pour le 0, je suis bien d’accord ; il est formidable, il permet de compter jusques à 1 ! Les blondes sont l’avenir de la mathématique. Et j’adore les blondes.) Note : Personne ne relie ce sujet aux vaticinations répétées des frères Bogdanoff ?

  • Par Budelberger - 07/08/2012 - 23:35 - Signaler un abus @gentil ヒナゲシ Mesdames

    Question bête : si Charles Hermite a été si malin avec e, pourquoi n’a-t-il pas étendu sa science à π, avant Ferdinand von Lindemann ?

  • Par ヒナゲシ - 08/08/2012 - 00:30 - Signaler un abus Alors ça, c'est la question à 100 000 € !

    Je n'en sais fichtrement rien. Et pourquoi Pythagore n'a-t-il pas découvert π ? Et pourquoi Maxwell n'a-t-il pas découvert la relativité (au lieu d'inventer le café soluble) ?   Pour être juste, la démonstration de Lindemann comporte des complications techniques (des manipulations de « polynômes symétriques ») qui la rendent plus difficile que celle d'Hermite, et qui font qu'elle a échappé à ce dernier, qui était cependant un mathématicien de plus grande envergure (il s'est illustré dans d'autres domaines).

  • Par jipt - 08/08/2012 - 04:18 - Signaler un abus petite rectif...

    oups ! je voulais dire dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

  • Par Le gorille - 08/08/2012 - 04:34 - Signaler un abus J'ai cru à un calembour

    Truc : docteur en maths... J'ai suivi le lien, et il s'agirat bien d'une personne. Rédacteur en chef qui plus est. Et c'est là où le bât blesse. Sa présentation des différents nombres n'est guère convaincante. les commentaires ont tiqué sur le nombre d'Avogadro, mais on peut aussi s'arrêtrer sur tous les autres, dont "e". J'ai eu l'impression d'un serpent qui se mordait la queue. Dommage. L'idée était bonne, mais la réalisation a manqué de relecture et surtout d'une certaine rigueur d'écriture. Quant au titre, j'espère que sa pauvreté franglaise est à attribuer à Atlantico (c'est de sa responsabilité) et non au docteur en maths, qui ne mérite pas une telle insulte.

  • Par Le gorille - 08/08/2012 - 04:39 - Signaler un abus Relecture : tel est pris qui croyait prendre

    Oui, mea culpa. Avec horreur, j'ai dénombré plusieurs fautes d'orthographe... Faute de relecture de mon propre billet ! Je me fais vite serpent pour me réfugier dans un trou de souris. Là, j'ai relu !

  • Par jipt - 08/08/2012 - 09:40 - Signaler un abus cher " gorille" (gare au...)

    je vous confirme que j'existe bien et que je ne suis responsable que de quelques commentaires-conseils sur cet article, qui est d'ailleurs signé de la rédaction d'Atlantico.

  • Par Budelberger - 08/08/2012 - 12:18 - Signaler un abus @Gentil ヒナゲシ nouveau

    Vos objections n’en sont pas. D’ailleurs, moi, π, je vous le calcule quand vous voulez, de tête, sans même un papier et un crayon – rappel des paroles de mon professeur de philosophie… – : π vaut π. (Paraphrase, en fait, de la réponse du financier américain auquel on demandait la valeur du dollar : « Un dollar. »…) C’est votre « fortement inspiré » qui a suscité mon étonnement ; c’est donc qu’Hilbert était fortement sur la voie de la démonstration ; et il lui a donc manqué quelque chose. (En supposant qu’il s’y soille essayé.)

  • Par Budelberger - 08/08/2012 - 12:24 - Signaler un abus Nanméjerèv ?!

    « Par jipt - 08/08/2012 - 09:40 cher " gorille" (gare au...) je vous confirme que j'existe bien et que je ne suis responsable que de quelques commentaires-conseils sur cet article, qui est d'ailleurs signé de la rédaction d'Atlantico. » semble vouloir dire que “jip”, c’est JiPé, ce que les gols usent pour « J.-P. », « Jean-Paul » – ou « Pierre » –, et “t”, c’est « Truc » ?! Ça vous dérangerait plus que ça d’intervenir sous votre vrai nom, ou si c’est trop dur, sous un pseudonyme clair, qu’on sache vous identifier ? Et de lire cet article dans lequel vous n’êtes pour rien ou pas grand-chose, ça vous démange pas de le récrire ?

  • Par Budelberger - 08/08/2012 - 12:30 - Signaler un abus La leçon qu’on peut tirer de cet article…

    …c’est qu’écrire sur un sujet pointu ne s’improvise pas… (Mathématique, astronomie, linguistique, etc. ; c’est pourquoi on trouve tant d’articles partout sur… la politique, l’art, l’économie…)

  • Par François78 - 08/08/2012 - 13:35 - Signaler un abus Heureusement !

    Heureusement qu'il y a tous ces nombres ! Imaginez si on n'y avait pas Pi : plus de ronds, plus de ballons ...

  • Par LeditGaga - 08/08/2012 - 14:56 - Signaler un abus @François 78

    S'il n'y avait pas pi, c'est sûrement Mamie qui s'y collerait !

  • Par jipt - 08/08/2012 - 18:09 - Signaler un abus compléments

    mes notes sont sur mon site perso : http://jeanpaul.truc.free.fr/nombres.pdf cordialement.

  • Par Budelberger - 08/08/2012 - 22:33 - Signaler un abus Vous cherchez à embrouiller vos lecteurs ?

    En titrant « 6 La constante de Planck ħ », avec la constante “réduite” ? (J’ai pas encore lu le pdf, j’ai déjà mal à la tête.)

  • Par Le gorille - 08/08/2012 - 23:42 - Signaler un abus Merci Mr Truc

    Oui, "gare au gorille !" Ce fut un de mes surnoms. Je passe sur les autres, car mon véritable état-civil se prête à beaucoup de jeux de mots, sans oublier mon aspect physique ou le reste... Pour le nombre "e", ce qui m'a le plus chiffonné, c'est l'ordre de présentation. Selon ce que j'ai lu, vous avez présenté comme conséquence ce qui était, pour moi, mais il y a tant de lustres, la définition. "On a changé tout cela" me rétorque-t-on si souvent... mais la logique, elle, doit perdurer. Quant au franglais... c'est devenu une véritable allergie.

  • Par ヒナゲシ - 09/08/2012 - 01:42 - Signaler un abus Plus ennuyeux…

    ce qui est dit dans l'article ne saurait en soi nous convaincre de « l'importance du nombre e », du fait que, pour tout nombre a>0, la fonction t ↦ a^t possède la même propriété fonctionnelle que l'exponentielle de base e, à savoir : a^(t + u) = a^t × a^u, et elle est la fonction inverse de la fonction « logarithme de base a ». Et d'ailleurs, la formule de décroissance radioactive donnée en exemple dans l'article peut parfaitement s'exprimer sans nullement recourir au nombre e.

  • Par Orendi - 09/08/2012 - 14:06 - Signaler un abus De l'or

    Vous voulez de l'or, c'est tout simple : vous prenez de l'énergie et vous la divisez par le quarré de la vitesse de la lumière. C'est pas moi qui le dit, c'est E = MC2 Les Math, c'est comme la poésie : une merveilleuse vue de l'esprit.

  • Par Budelberger - 10/08/2012 - 04:08 - Signaler un abus La formule de Leibnitz

    La somme alternée des inverses des entiers impairs, puisque apparemment il y en a plusieurs. On trouve sa démonstration (attention ! prévoir un mal de tête…) dans Wikipédia. Qu’est-ce qui a bien pu pousser ces mecs à les sommer, alternés, minorer, intégrer (de 0 à 1), et s’apercevoir qu’on avait une différence d’arctangentes, aboutissant à π/4 ?… Mystère. Mais question naïve métaphysicophilosophicomathématique… qui a dû déjà être posée… et balayée… il y a deux siècles… mais on ne me dit rien, à moi… « π est un nombre irrationnel (on ne peut l’écrire de manière exacte comme quotient de deux nombres entiers) ». Pourtant, une somme même alternée même infinie de quotients de deux nombres entiers (1 et un impair), ça fait bien un quotient de deux nombres entiers, non ? Exemple : avec 1-1/3+1/5-1/7+1/9, si j’y vais brutalement, c’est [(3×5×7×9)-(1×5×7×9)+(1×3×7×9)-(1×3×5×9)+(1×3×5×7)]/(1×3×5×7×9) = 789/945 = 263/315 (on est encore loin de π…) ; si je pousse jusques aux environs de l’infini, j’obtiens bien toujours un quotient de deux entiers, ou ça devient subitement irrationnel aux alentours de l’infini – mais quand ? – ? Où le raisonnement pèche-t-il ?

  • Par ヒナゲシ - 11/08/2012 - 02:12 - Signaler un abus Ça pèche ici

    Tant que l'on additionne des nombres rationnels (quotients de deux entiers) *en quantité finie*, on obtient toujours un rationnel ; c'est quand on « passe à la limite » (en considérant des sommes comportant une infinité de termes) que l'on peut — éventuellement — sortir de l'ensemble des rationnels.   Le nombre π se représente en base 10 ainsi : π = 3,14159… C'est-à-dire : π = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 + 5/10000 + 9/100000 ⋯ Dans cette représentation — que vous connaissez bien — vous n'êtes pas choqué que chacun des termes soit rationnel. Et pourtant la somme (π) est irrationnelle…

  • Par Budelberger - 11/08/2012 - 12:18 - Signaler un abus Ça pèche partout

    Mais là, vous partez d’une valeur approximative, dont on ne connaît que les N premières décimales (N grand, je sais plus combien) – ce qui ne prouve en rien l’irrationalité de π, d’ailleurs – : vous établissez un raisonnement circulaire : Puisque je sais que π est irrationnel, la somme infinie de ses rationnels est donc irrationnelle, ce qui prouve que π est irrationnel ; la formule de Leibniz, c’est une égalité stricte, certes avec un indice grimpant jusques à l’infini ; ça n’a rien à voir avec votre approximation symbolisée par les « … » (vous êtes bien incapable d’aller plus loin, trop loin, bien loin). D’autre part, si j’applique le fameux raisonnement par récurrence à la formule de Leibniz – rationalité vérifiée sur l termes, supposée jusques au m-ième terme, prouvée au n-ième terme –, π/4 est rationnel. Ça pèche sûrement quelque part, partout certes, mais où ?

  • Par ヒナゲシ - 11/08/2012 - 23:08 - Signaler un abus Nulle part. Je maintiens.

    Attention, je ne prétendais pas démontrer dans mon précédent post que π est irrationnel ! Je répondais seulement à votre étonnement quant au fait qu'une série numérique (somme ayant une infinité de termes) dont tous les termes sont rationnels puisse avoir une somme irrationnelle.   Quant aux … que j'ai utilisés, ils « résument » la totalité des décimales qui viennent après 3,14159 — décimales qu'il est évidemment impossible d'écrire toutes, puisqu'elles sont en quantité infinie.   Si cette possibilité existait j'aurais plutôt écrit des formules avec des ∑ comportant des indices qui varient jusqu'à l'infini, mais convenez qu'écrire des mathématiques ici est tâche ardue.

  • Par Budelberger - 12/08/2012 - 01:32 - Signaler un abus Partout. Moi aussi, je maintiens.

    Non, vous établissiez que la somme infinie de rationnels (sous forme de fractions décimales) était irrationnelle, puisque égale à un nombre, π, “par définition” irrationnel. S’il y avait une quantité infinie de décimales à π, on aurait une somme de fractions rationnelles dont rien ne dit qu’elle ne serait elle aussi rationnelle. π ne peut qu’être approché par plein de chiffres après la virgule ; s’il est irrationnel – comme des démonstrations “indépendantes” l’établiraient –, il échappe à l’écriture, sauf sous la forme, comme je l’ai déjà dit intelligemment, de « π ». Vous squeezez le raisonnement par récurrence ; pourquoi ? — j=0, S=1/1 : rationnel ; — j=1, S=1/1-1/3=2/3 : rationnel ; — j=2, S=1/1-1/3+1/5=13/15 : rationnel ; — j=n-1, S=1/1-1/3+1/5-1/7…[(-1)^(n-1)]/[2(n-1)+1]=(plein de choses=l, entier)/(plein de choses=m, entier) : rationnel ; — j=n, S=(l/m)+[(-1)^n]/[2n+1]=[l×(2n+1)+m×(-1)^n]/[m×(2n+1)]=l’/m’ (tous deux entiers) : rationnel. La formule de Leibniz établit que (π/4) est rationnel. J’ai pêché la solution.

  • Par Le gorille - 12/08/2012 - 02:19 - Signaler un abus Pi est irrationnel et transcendant

    Pourriez-vous vous référer à vos cours de maths sup ? Sinon, évitez de vous lancer dans des considérations littéraires, sentimentales ou de bon sens, voire idéologiques, concernant des définitions mathématiques. Et puis, plus simple, fouillez la Toile, elle vous renseignera mieux que moi. Les mathématiciens respectent à la lettre les définitions, que vous le vouliez ou non, et les "à-peu-près" sont exclus. Les propriétés de Pi répondent aux définitions qui font de lui un nombre irrationnel et transcendant. Point.

  • Par ヒナゲシ - 12/08/2012 - 02:35 - Signaler un abus C'est pas bientôt fini ?

    « S’il y avait une quantité infinie de décimales à π […] ». Mais il y a une quantité infinie de décimales dans la représentation décimale de *tous les nombres*, qu'il s'agisse de π ou de ⅔ ! Les irrationnels comme les rationnels. ☞ http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal   Quant à votre « raisonnement par récurrence » il établit une seule chose : les *sommes partielles* de la série dans la formule de Leibniz sont toutes des nombres rationnels. Mais seulement les sommes partielles. Sur la *somme de la série* elle-même (somme d'une infinité de termes), votre raisonnement ne dit rien, et ne peut rien en dire. (C'est ce que j'écrivais le 11 à 2 h 12.) Au fond, vous prenez le développement décimal de n'importe quel nombre irrationnel et — via votre « raisonnement » — vous démontrez qu'il est rationnel…   Quand (le 10 à 4 h 08) vous écrivez : « aux environs de l'infini », c'est une formulation qui n'a aucun sens. Aussi grand que soit le nombre (fini) de termes que vous considérez — quand bien même il y en aurait des milliards de milliards ⋯ de milliards de milliards — vous n'êtes *jamais* à l'infini.

  • Par Budelberger - 12/08/2012 - 11:19 - Signaler un abus Le raisonnement par récurrence, c’est ça

    L’hypothèse est vérifiée sur les premiers termes de la suite : OK ; on la SUPPOSE vérifiée au terme (n-1) ; on vérifie alors qu’elle est toujours valable au terme n ; si oui, la démonstration est faite. Comme vous êtes incapables de la démonter – oui, “démonter”, sans “r” –, tous les deux, vous maniez l’insulte. Vous répétez vos connaissances mal assimilées comme des perroquets ; des perroquets haineux, je savais pas que ça existait. Moi, je veux bien que π soille tout ce qu’on veut ; encore faut-il montrer en quoÿ ce qu’il n’est pas n’est pas, justement ; et autrement que par des « C’est comme ça, m’en demandez pas trop. Je frime, mais très au-delà de mes pos-sibibilités. ».

  • Par Budelberger - 12/08/2012 - 11:33 - Signaler un abus Je suis peut-être nul en maths…

    C’est pas une hypothèse ; je peux le démontrer – même pas besoin de récurrence – ; mais, moi, je sais lire ; personne – je dis bien “PERSONNE” – avant le 07/08/2012 19 h 12 n’avait tiqué sur cette perle : « "i" est égale à la racine carrée de -1, ce qui veut dire que la racine carrée de i est -1. ». Alors maintenant, bien sûr, après la bataille, la guerre, quelques arrogants viennent pontifier du haut de leur suffisance. Oui, je sais, ils n’ont pris connaissance de l’article qu’APRÈS que la coquille a été signalée ; sinon, tu penses bien… Qu’est-ce qu’on n’aurait pas vu, à coups de “name-dropping”… démontrant une vaste culture scientifique… Ah ! que je regrette d’être intervenu si tôt : avoir privé l’humanité de ça !… (On a si peu l’occasion de rigoler.)

  • Par Le gorille - 13/08/2012 - 03:12 - Signaler un abus Récurrence

    La récurrence a pour seul but d'écrire, dans une suite, le terme de rang (n+1) à partir du terme de rang n. Le calcul de résultat de la suite, quand n tend vers l'infini est tout autre chose. Enfin, pour un nombre, le classer comme rationnel, irrationnel voire transcendant ne relève pas d'une décision subreptice à la frontière de l'infini : c'est une démonstration à part entière. Demandez-là à un de vos proches actuellement en "prépa" ou en licence de maths : il se fera un plaisir de vous l'expliquer (peut-être aurez-vous mal à la tête !!!). Attention au préalable de la rigueur des définitions : vous aurez un peu de travail à faire ! Formule de Leibnitz : vous réviserez alors votre jugement à bon escient.

  • Par Le gorille - 13/08/2012 - 03:41 - Signaler un abus Fonction du "e"

    A ヒナゲシ Je reconnais que Mr Truc n'est pas explicite. D'autant que j'ai beaucoup utilisé, professionnellement parlant (vous aussi je suppose), les log base 10, sans oublier qu'en études on devait jongler avec des log base a. C'était avant les machines à calculer, et les règles à calculer étaient trop imprécises pour mes besoins. J'en ai bouffé du log ! Bon. M Truc ne pourrait-il pas nous préciser le champ d'application des "L" (log base e) ? Par exemple, les chaînettes, les sinusoïdes ou les courbes tordues (fil entre poteaux, courant électrique, routes, trajectoires)... où "e" là est effectivement "naturel" et non un autre nombre. Le "e", trop petit, n'a pas fait le poids devant le "10" (les "log" ) dans les représentations graphiques, et les mesures physiques...

  • Par ヒナゲシ - 14/08/2012 - 03:49 - Signaler un abus e, ln, etc.

    Oui, les fonctions exponentielles se déduisent toutes les unes des autres selon des formules simples, et elle partagent les mêmes propriétés. On peut en dire autant des fonctions logarithmes entre elles. Come vous l'observez justement, dans les applications techniques & sciences non mathématiques on aura bien plus souvent recours à la base 10, parfois à la base 2, ou autre… Il est cependant vrai que le logarithme népérien — dans les *mathématiques pures* — joue parfois un rôle plus particulier que les autres (par exemple, le n-ième nombre premier est équivalent à n*ln(n) quand n tend vers l'infini), mais rien de ce qui est raconté dans l'article ne permet de le soupçonner.   (J'en suis à me demander si notre ami Budelberger ne poste pas « au n-ième degré », juste pour le plaisir de faire tourner ses lecteurs en bourrique…)

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