Pi, le nombre d'Euler, le nombre d'or, la constante de Planck... autant de nombres aux noms étranges mais aux applications déterminantes.
"Or il n'est rien qui soit meilleur marché ni d'un usage plus facile
que précisément les nombres, rien qui soit davantage au pouvoir
de l'intelligence humaine"
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
L’ADN en hélice, la sélection naturelle de Darwin…ou encore l’héliocentrisme de Galilée. Ces grandes découvertes scientifiques ont changé le cours de l’Humanité. Mais il n’y a pas qu’elles qui ont "compté". D'autres nombres ou constantes mathématiques ont révolutionné le monde. C’est grâce à eux que des ponts ont été construits, par exemple.
Voici donc dix nombres essentiels à retenir :
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Le mathématicien grec Archimède est le premier à avoir calculé Pi (qui se note π), dont la valeur est estimée entre 3 + 10 / 71 et 3 + 1 / 7. Il s'agit du rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.
Son application: Pi est la clé constante dans toute équation qui inclut un mouvement circulaire ou harmonique. C’est une des relations les plus essentielles en mathématiques.
L'éclairage de Jean-Paul Truc, docteur en mathématiques : On en trouve une valeur approchée dans la bible (livre des Rois, 7.23). La lettre π est la première du mot circonférence ou périmètre en grec. Cette notation a été introduite vers 1600 pour désigner ce nombre. Dans le papyrus Rhind en Égypte, vers 1800 Av J.C. il est donné approximativement pour 3,16. Archimède au troisième siècle utilise une méthode de recouvrement partiel du disque par des polygônes, méthode qui le conduit à l’encadrement : 3 + 10 / 71 < π < 3 + 1 / 7 ou encore : 3,1408 < π < 3,1428. L’approximation de π par des nombres rationnels (i.e. des fractions) a été un souci constant ; la théorie des fractions continues fournit par exemple des réduites comme 22 / 7 ou 333 / 106 . Toutefois on sait depuis le XVIIème siècle grâce au mathématicien Jean Henri Lambert, né à Mulhouse, que π est un nombre irrationnel (on ne peut l’écrire de manière exacte comme quotient de deux nombres entiers). La formule de Leibniz suivante :
qui dit que π sur quatre est la somme infinie des inverses des entiers impairs, affectés d’un signe alterné, montre que π n’est pas lié au cercle mais serait présent dans toute civilisation sachant compter, c’est à dire connaissant la suite des nombres entiers 0, 1, 2, 3... . La quadrature du cercle consiste à construire géométriquement, avec la règle et le compas, un carré de côté x dont la surface soit égale à celle du cercle, ce qui revient à résoudre géométriquement π = x², en prenant le rayon R = 1. Elle a occupé longtemps les mathématiciens de l’antiquité à la renaissance ; nous savons maintenant que c’était “mission impossible”. En effet une longueur constructible à la règle et au compas est représentée par un nombre x algébrique, ce qui signifie qu’il est solution d’une équation de la forme
où les a i sont des rationnels et m un entier. La diagonale √2 du carré de côté 1 est par exemple un nombre algébrique puisque vérifiant l’équation x² - 2 = 0. Si la quadrature du cercle était possible, x donc x² serait algébrique, et donc π également. Or Carl Louis Ferdiand Von Lindemann a prouvé au dix-neuvième siècle que π n’était pas un nombre algébrique ! (On dit que est un nombre transcendant). La recherche des décimales de π est devenue un objectif pour les plus gros ordinateurs, afin de montrer leur puissance de calcul. On connaît aujourd’hui dix mille milliards de décimales de π. Le meilleur algorithme est récent : il a été trouvé par le mathématicien canadien Simon Plouffe ; ce dernier figurait dans le livre des records en 1977, pour avoir récité par cœur 4096 décimales de π !
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Le nombre d’Euler est aussi connu sous le nom de "constante de la croissance exponentielle".
Il s'agit de la base des logarithmes naturels et on le retrouve dans beaucoup de domaines des mathématiques.
Application: En finance, le nombre d’Euler est utilisé afin de déterminer les intérêts composés, un élément vital dans la compréhension de la valeur temporelle de la monnaie – la colonne vertébrale de la finance. De plus, ce nombre est crucial en physique, dans la loi de décroissance radioactive – prenez par exemple la datation au Carbone 14.
Jean-Paul Truc : C'est en 1614 que le mathématicien écossais Jean Neper invente les logarithmes, afin de simplifier les calculs astronomiques de l'époque en remplaçant la multiplication par l'addition, conjointement avec l'utilisation de tables, selon la formule : ln(ab) = ln a + ln b. Le nombre e (cette notation apparaît dans la correspondance entre Euler et Huyghens)estl'unique nombre réel dont le logarithme népérien ait pour valeur 1, ce qui s'écrit : ln e = 1. Une valeur approchée en est 2,71828. En élevant le nombre d'Euler à une puissance quelconque x, puis en calculant le logarithme du nombre obtenu, on retrouve le nombre x. La fonction exponentielle de base e qui à x associe ex est donc l'inverse de la fonction logarithme, ce qui justifie l'importance de ce nombre, indispensable en analyse mathématique. Le célèbre mathématicien suisse Léonard Euler, prouva notamment que e était irrationnel et établit la relation :
qui dit que e est la somme infinie des inverses des factorielles des nombres entiers (la factorielle de l'entier n, notée n!, est égale au produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à n ; par exemple : 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, et par convention 0! = 1). Remarquons que e est également un nombre transcendant (résultat démontré par Charles Hermite en 1873).
Il s’agit d’un nombre souvent retrouvé dans les ratios des distances, dans les figures géométriques.
Il est relié à la suite mathématique de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34) : chaque terme est égal à la somme des deux nombres qui l'ont immédiatement précédé. Plus on va loin dans la série, plus le résultat de la division d'un nombre par le précédent tend vers 1,618 (nombre d'or).
Application : le nombre d’or est souvent utilisé en analyse technique financière, pour déterminer le potentiel des cycles des marchés financiers.
Ce nombre est aussi souvent trouvé dans la nature, notamment dans la spirale logarithmique d'une coquille d'escargot, ou encore celle d'une galaxie, en passant par les proportions du corps ou du visage humain.
Jean-Paul Truc : Il est défini par
et admet la valeur approchée 1,61803300. C'est un nombre algébrique, puisque racine de l'équation x2-x-1 = 0, comme on peut le vérifier par un calcul élémentaire. C'est le nombre des artistes et des architectes, celui de la « divine proportion ». Euclide écrit à son sujet : « une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est à son plus grand segment ce que le plus grand segment est au plus petit ». Un rectangle de côtés a et b est un rectangle d'or si ses côtés sont dans le rapport : a/b = Φ. Cette relation est encore équivalente à a/b = (a+b)/a, car à partir de cette dernière relation, en posant x = a/b, on arrive facilement à x2-x-1 = 0, équation dont la seule racine positive est bien x = Φ. Le rectangle d'or est censé être le plus agréable possible à regarder pour notre oeil. On le trouve dans la composition des œuvres de Léonard de Vinci, dans les proportions des temples grecs et plus près de nous chez des artistes modernes comme Piet Mondrian. Le nombre d'or permet également d'engendrer les célèbres nombres de Fibonacci Fn. Historiquement, Fibonacci les introduit en considérant un couple de lapins au mois n = 0 ; ils ne se reproduisent pas le premier mois, mais à partir du deuxième ils se reproduisent de la façon suivante : si on note Fn le nombre de couples de lapins au mois n, on aura : Fn = Fn-1 + Fn-2. Cette suite de nombres : 1,1,2,3,5,8,... est connue sous le nom de suite de Fibonacci. Quand n est très grand le nombre Fn est pratiquement proportionnel à la puissance énième du nombre d'or.
Elle tient son nom du physicien Max Planck (1858 - 1947), un des pères de la théorie quantique. La constante reflète la taille et l’énergie d’un quanta (plus petite mesure indivisible) en mécanique quantique. Werner Heisenberg s’en est servi pour déterminer son Principe d’Incertitude. Ce dernier énonce que pour une particule massive donnée, on ne peut pas connaître simultanément sa position et sa vitesse.
Application: Certains affirment que ce principe peut être utilisé pour déterminer la stabilité et la durabilité d’un instrument financier. Mais si vous souhaitez voir une application plus concrète, et terre à terre, il faudra attendre quelques années. L’ordinateur quantique existe encore à l’état théorique. Mais peut-être qu’il verra le jour – si les ingénieurs réussissent à créer un ordinateur qui peut stocker des informations, non pas sur un système de bits (qui ont pour états 0 ou 1), mais sur un système de qbits (pouvant prendre un ensemble de valeurs beaucoup plus large). Cela aura un impact énorme sur le monde.
Jean-Paul Truc : Elle est appelée ainsi en hommage au physicien allemand Max Planck (1858-1947), auteur en 1900 de la théorie des Quanta. L'énergie E d'un photon se déplaçant à la fréquence ν est donnée par E = h ν, où h est la constante de Planck, à peu près égale (en Joules seconde) à 6,62606957.10-34 J.s. On utilise souvent la constante de Planck réduite notée « h barre », égale au quotient de h par 2 Π.
Elle intervient fréquemment en mécanique quantique, par exemple dans la célèbre inégalité d'Heisenberg qui borne inférieurement le produit des écarts types d'une mesure de position et celui d'une mesure de quantité de mouvement. La particularité de h est d'avoir perdu son statut de constante en passant de la physique aux mathématiques. En mécanique semi-classique, en effet, les mathématiciens n'hésitent pas à faire tendre « h barre » vers zéro pour retrouver les lois de la mécanique classique par un passage à la limite à partir de la mécanique quantique.
Il s’agit d’une constante utilisée pour expliquer les atomes, des molécules, des ions et des électrons. C'est le nombre d'atomes dans 12 grammes de carbone 12, soit le nombre d'identités identiques contenues dans une mole.
La masse relative des atomes en grammes contient le nombre d’Avogadro.
Application: La constante d’Avogadro offre un regard intéressant sur la relation entre nombre de différentes propriétés chimiques. Un ingénieur chimiste pourrait faire un usage quotidien de ce savoir, appelé stoechiométrie – tous les jours.
C’est une "merveille" du monde réel, lorsque vous avez précisément le nombre d’atomes dans une pile de façon à cette pile pèse, en grammes, le poids atomique de la substance qui se trouve sur une table périodique. Cette pile est appelée une "mole" d’atome. Donc, une mole de carbone contient exactement 6.022 x 1023 atomes de carbone, et si vous la pesiez, son poids atomique serait de 12.011 grammes.
Comprendre la vitesse de la lumière est l'un des plus grands accomplissements de la physique, mais c’est aussi la source de beaucoup de questionnement. De quoi donner le vertige.
Application: La vitesse de la lumière est utilisée dans différentes formules mathématiques pour analyser les trajets dans l’espace. C’est en partie grâce à la célèbre théorie de la relativité d’Einstein qu’il a été possible de comprendre la relation entre masse et énergie. Il s’agit du "c" dans "E = mc² "
C’est une constante physique fondamentale qui apparaît dans la loi de Newton sur la gravité, aussi connue sous le nom de constante "G". Elle apparaît aussi dans la théorie de la relativité général d’Einstein.
Application: "G" permet de déterminer la force entre deux masses. La connaissance de "G" est cruciale pour tout ingénieur civil, mécanique, ou aérospatial. Pour s’assurer qu’un pont est stable, même sous le poids de voitures roulant dessus, "G" est indispensable dans les calculs : cela nous fait nous rendre compte de l’importance de la constante gravitationnelle.
La constante Boltzmann est une constante fondamentale en physique, qui apparaît dans presque toutes les formulations statistiques en physique quantique.
Application: elle explique pourquoi les cubes de glaces fondent dans l’eau chaude, sans se transformer immédiatement en eau tiède. Entres autres.
Jean-Paul Truc : A la différence des autres nombres vus jusque là, la constante de Boltzmann a une « dimension », ce qui signifie qu'elle a une signification physique et que sa valeur dépend du système d'unités utilisé. Introduite par Ludwig Boltzmann, physicien autrichien, en 1873, elle est égale au quotient de la constante R des gaz parfaits par le nombre d'Avogadro NA et vaut environ 1,3806. 10-23 J/K (en Joules par degrés Kelvin). Cette constante apparaît dans l'équation de Boltzmann ; c'est l'équation préférée de Cédric Villani, dont une partie des travaux porte sur la physique statistique du chaos moléculaire.
Le nombre i est une racine carrée de -1 c'est-à-dire que le carré de i vaut -1.
Application: Construction d'un corps de nombre "algébriquement clos", c'est-à-dire où toutes les équations algébriques ont des racines.
Les nombres complexes ont une signification géométrique dans le "plan complexe" ; à tout complexe z = a+ib, on associe le point de coordonnées (a,b). effectuer une rotation revient à une simple multiplication par un nombre complexe.
Jean-Paul Truc : L'Italie de la Renaissance où les cités commerçantes rivalisent entre elles, est le lieu d'une activité économique importante qui engendre des progrès dans le domaine de la comptabilité et donc des mathématiques. C'est ici qu'au XVIème siècle des mathématiciens italiens comme Bombelli et Cardan, introduisent le nombre imaginaire i dont le carré est égal à l'opposé de l'unité : i2 = -1, puis les quantités complexes ou imaginaires que l'on écrit aujourd'hui a+ib, (a et b étant des nombres réels). Grâce à elles, Jérome Cardan établit ses formules pour résoudre l'équation du troisième degré (« empruntées » probablement à son collègue Tartaglia...). Le miracle est qu'en donnant une solution à l'équation x2 +1 = 0, on crée du même coup un ensemble de nombres (le corps C des nombres complexes) où toute équation algébrique de degré n admet exactement n solutions (qui peuvent être des racines multiples). Par exemple l'équation x3-1 = 0, qui n'admet que la racine réelle x = 1, va posséder deux autres racines complexes, notées j et j2, ce qui permet la factorisation complète x3-1 = (x-1)(x-j)(x- j2). Ces nombres sont très utile en physique, notamment pour l'étude des courants électriques et plus généralement des phénomènes ondulatoires où une fonction d'onde est souvent représentée par l'exponentielle d'un nombre imaginaire.
L'identité d'Euler est une façon d'écrire le nombre -1 comme une exponentielle d'un nombre imaginaire pur.
Sa démonstration est basée sur la célèbre formule d'Euler qui dit que exp(ix) = cos x + i sin x. Cette formule se prouve en utilisant un développement en puissances de x de l'exponentielle complexe exp(ix). On sépare les termes de puissances paires de ceux de puissances impaires et on voit apparaître les séries du cosinus et du sinus.
Dans le plan complexe quand le paramètre t varie de 0 à 1, le nombre complexe z = exp(it) décrit dans le sens contraire aux aiguilles d'une montre un demi-cercle, centré à l'origine, qui relie le point z = 1 (obtenu pour t = 0) au point z = -1 (obtenu pour t = 1).
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