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Quelle civilisation a inventé les premiers nombres ?

Publié le 06 août 2014
Nombres entiers, premiers, réels ou imaginaires, ils structurent le quotidien des hommes et répondent depuis toujours au désir profondément humain de rationaliser le réel. Des scribes mésopotamiens, chez qui ils virent le jour, à l’avènement de la technologie numérique, en passant par la révolution arithmétique du Moyen Âge ou les grands théorèmes comme celui de Fermat, vingt-cinq spécialistes racontent cette formidable aventure humaine. Extrait de "Histoire des nombres", publié chez Tallandier (1/2).
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Nombres entiers, premiers, réels ou imaginaires, ils structurent le quotidien des hommes et répondent depuis toujours au désir profondément humain de rationaliser le réel. Des scribes mésopotamiens, chez qui ils virent le jour, à l’avènement de la technologie numérique, en passant par la révolution arithmétique du Moyen Âge ou les grands théorèmes comme celui de Fermat, vingt-cinq spécialistes racontent cette formidable aventure humaine. Extrait de "Histoire des nombres", publié chez Tallandier (1/2).

Comment les nombres abstraits ont-ils fait leur apparition dans les textes écrits ?

Aussi paradoxal que cela puisse paraître, c'est aux quarante dernières années qu'il faut remonter si l'on veut comprendre leur formation même.

Dans les années 1960, les fouilles françaises de Suse (dans l'actuel Iran) ont mis en effet au jour des boules et des tables d'argile couvertes de signes. On en avait déjà trouvé dans tout le Proche-Orient mais ici, leur disposition par strates successives bien délimitées permettait d'en étudier pour la première fois l'évolution à partir de la fin du IVe millénaire avant notre ère.

Ces signes sont maintenant compris comme des précurseurs de l'écriture grâce aux recherches fondamentales de l'archéologue Pierre Amiet (alors conservateur en chef des antiquités orientales au musée du Louvre). Des hypothèses contestées mais stimulantes de l'archéologue américaine Denise Schmandt-Besserat sur la nature exacte de ces signes, la renaissance des études sur les mathématiques mésopotamiennes dans les années 1980 grâce aux efforts conjoints d'assyriologues et d'historiens des sciences, fournissent maintenant une analyse convaincante de l'apparition progressive du nombre « abstrait » dans les textes écrits.

Au moins pour les civilisations (Sumer, Elam) qui ont fleuri et de l'Iran actuels et qui ont utilisé pour l'écriture un support étonnamment durable, l'argile. Au commencement étaient donc des « bulles », en fait des boules creuses, et des jetons d'argile. Dans la période la plus ancienne, les bulles contenaient de petits jetons : ceux-ci, de taille et de forme variées, représentaient diverses quantités de biens (moutons, mesures d'huile ou de blé). Les bulles servaient sans doute de registres de comptabilité primitifs ; elles portent à leur surface le sceau du propriétaire ou du contrôleur, ou celui des parties contractantes.

On suppose qu'elles devaient être cassées pour contrôler leur contenu. Dans une étape ultérieure, peut-être pour permettre des vérifications intermédiaires sans devoir casser la bulle, les jetons étaient enfoncés dans l'argile de la bulle avant d'être enfermés à l'intérieur : on a donc à ce stade des signes extérieurs, doublant de petits objets représentatifs.

Vers la fin du IVe millénaire environ avant notre ère, les objets-jetons disparaissent. Seules restent leurs marques sur la surface de la bulle. Celle-ci s'aplatit alors en une tablette. Très rapidement, un outil unique et spécial, le calame (de roseau), est utilisé pour graver toutes les marques extérieures. La variation des signes nécessaires est obtenue par combinaison des traces laissées par les deux bouts du calame ou par deux calames, de taille inégale, enfoncés tout droit (on obtient alors des cercles) ou transversalement (on obtient alors des encoches).

Dans une dernière étape enfin, l'extrémité du calame indique les différentes quantités de biens, un dessin plus élaboré complète l'information en précisant la nature des marchandises concernées (bétail, blé). Est alors consommée une séparation entre le signe écrit quantitatif et le signe écrit qualitatif : l'un et l'autre continuent indépendamment leur évolution rapide vers… les mathématiques d'un côté et la littérature de l'autre.

Il faut remarquer qu'à ce stade précoce l'écriture ne représente pas (encore) le langage parlé, il n'y a pratiquement pas de structure syntaxique. Qu'en est-il des signes quantitatifs ? Pendant la période dite archaïque (3200-2800 avant J.-C.), les signes numériques s'organisent en une douzaine de systèmes métrologiques différents. Leurs valeurs et leurs relations n'ont commencé à être comprises que grâce au travail pionnier du Suédois Jöran Friberg, de l'Allemand Peter Damerow et de l'Américain Bob Englund dans les années 1980. On trouve ainsi un système (dit système S) pour les quantités discrètes, les moutons par exemple, un autre (système dit G) pour la mesure des surfaces de champ, etc. Le même signe peut représenter des nombres différents d'unités dans des systèmes distincts. Par exemple, le signe formé de deux cercles concentriques vaut dix fois le signe formé d'un grand cercle s'il s'agit de brebis ; mais si l'on veut mesurer la surface d'un champ, c'est au contraire le grand cercle qui vaut six fois les deux cercles concentriques. Les signes numériques n'ont donc aucune valeur intrinsèque, ils dépendent du système métrologique dans lequel ils sont insérés.

La période dite protodynastique (2800-2350 avant J.-C.) voit des réformes du système d'écriture en liaison avec la taille croissante des échanges commerciaux entre les cités États de Mésopotamie et d'Elam. Le nombre des systèmes métrologiques utilisés décroît, l'écriture se développe, permettant désormais la reproduction du langage parlé. Pour résoudre certaines ambiguïtés résiduelles des anciens systèmes (par exemple, le fait que les valeurs relatives des signes dépendent du système considéré), le nom de l'unité concernée est écrit explicitement. C'est aussi de ce moment que datent les premiers textes proprement mathématiques dont nous disposons : ce sont des tables et des exercices scolaires, destinés à la formation professionnelle du futur scribe.

Au cours de la période suivante (jusqu'au début du IIe millénaire) se constituent des empires centralisés qui mettent en place, à une plus grande échelle, un système unifié d'écriture et de comptabilité. L'écriture est encore simplifiée : c'est le moment où s'achève la construction de l'écriture cursive ou cunéiforme bien connue. Du même coup, de nouveaux risques d'ambiguïté sont créés, certains signes (grandes et petites encoches par exemple) tendant à se confondre. La solution mise en place à la fin de cette période est qu'un système numérique unique, inspiré du système S, devient dominant. Plus précisément, il sert à écrire presque tous les nombres au cours des calculs, la conversion dans une autre unité et la mention de l'unité utilisée étant adjointes séparément à la fin. Ce système est celui de position à base soixante. Un nombre qui s'écrirait 421 dans un tel système – les signes utilisés en Mésopotamie sont bien sûr différents de nos chiffres arabes – vaudrait 4 x 3 600 + 2 x 60 + 1, soit quatorze mille cinq cent vingt et un. Nous gardons d'ailleurs encore des traces de ce type de système dans la mesure du temps en heures, minutes et secondes.

À partir de ce moment, les nombres abstraits, dont l'écriture et le maniement ne dépendent plus des objets qu'ils dénombrent, sont vraiment en place. Il leur a fallu pour cela se désincruster peu à peu d'autres signes (noms de biens, puis unités métrologiques), sous la pression de contraintes très concrètes, certaines liées à des facteurs extérieurs, comme la rationalisation de la métrologie, d'autres liées à des choix précédents des systèmes de numération en place. Il serait bien sûr capital de pouvoir comparer cette évolution avec celle d'autres civilisations. Malheureusement, pour beaucoup d'entre elles comme la Chine ou l'Inde, nous ne disposons pas de textes suffisamment anciens pour analyser ces étapes précoces. Reste à espérer que le travail en cours dans d'autres cas (l'Egypte notamment) fournira des éléments de comparaison pour déterminer les facteurs cruciaux dans l'apparition du concept de nombre.

Extrait de "Histoire des nombres", publié chez Tallandier.  Pour acheter ce livre, cliquez ici.

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